Polyeder

Bei den Polyedern der Sammlung sind alle Seiten regulär (regelmäßig). Außerdem zeichnen sie sich durch besondere Eckenfiguren aus. Unter einer Eckenfigur versteht man ein Polygon, das aus dem Polyeder ausgeschnitten wird, durch eine Ebene, die aufgespannt wird von den Mittelpunkten aller Kanten durch eine feste Ecke (bei Sternpolyedern muss die Ebene näher an die Ecke gerückt werden).

Reguläre Polyeder
Bei einem regulären Polyeder sind alle Seiten und alle Eckfiguren reguläre konvexe Polygone. Es gibt genau fünf reguläre Polyeder, die sogenannten Platonischen Körper, nämlich das Tetraeder, das Hexaeder, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder.

Beim Hexaeder sind die Seiten Vierecke und die Eckenfiguren Dreiecke, und umgekehrt sind beim Oktaeder die Seiten Dreiecke und die Eckfiguren Vierecke. Deshalb sind Hexaeder und Oktaeder dual. Im selben Sinn sind Dodekaeder und Ikosaeder dual. Beim Tetraeder sind sowohl Seiten als auch Eckfiguren Dreiecke, deshalb ist das Tetraeder selbstdual. Die Seitenmittelpunkte eines regulären Polyeders sind die Ecken des dualen regulären Polyeders.

Die Symmetrien eines Polyeders sind die Bewegungen, die das Polyeder invariant lassen; sie bilden die Symmetriegruppe. Jede Ecke eines regulären Polyeders lässt sich auf jede andere Kante abbilden, und jede Seite auf jede andere Seite. Ist dies umgekehrt für ein konvexes Polyeder der Fall, so handelt es sich um einen Platonischen Körper.

Auch alle eigentlichen Bewegungen (Drehungen), die ein Polyeder invariant lassen, bilden eine Gruppe. Die eigentlichen Bewegungen, die einen Tetraeder invariant lasse, bilden die Tetraedergruppe T. Die eigentlichen Bewegungen, die das Hexaeder invariant lassen, sind gleichzeitig die, die das Oktaeder invariant lassen; sie bilden die Oktaedergruppe O. Die eigentlichen Bewegungen, die das Dodekaeder invariant lassen, sind gleichzeitig die, die das Ikosaeder invariant lassen; sie bilden die Ikosaedergruppe I. Dabei ist T eine Untergruppe von O und eine Untergruppe von I, aber O keine Untergruppe von I. Zusammen mit den zyklischen Gruppen Cn (mit n ≥ 1) und die Diedergruppe Dn (mit n ≥ 2) sind T, O und I die einzigen endlichen Gruppen von eigentlichen Bewegungen.

Semireguläre Polyeder
Bei einem semiregulären Polyeder sind alle Seiten reguläre konvexe Polygone und außerdem lässt sich jede Ecke durch eine Symmetrie auf jede andere Ecke abbilden, d.h. die Ecken sind äquivalent. Außer den Platonischen Körpern, den Prismen und Antiprismen gibt es nur noch 13 weiter semireguläre Polyeder, nämlich die 13 Archimedischen Körper. Man erhält alle durch die Verstümmelung der Platonischen Körper.

Ändert man die Definition ganz leicht ab, indem man statt äquivalenter Ecken nur verlangt, dass die Eckenfiguren kongruent und konvex sind, dann gibt es noch ein weiteres Polyeder, dass diese Bedingungen erfüllt. Es handelt sich um das Rhombokubooktaeder Typ 2.

Die zu den Archimedischen Körpern dualen Körper sind die Catalanschen Körper.

Reguläre Sternpolyeder
Bei einem regulären Sternpolyeder sind alle Seiten und alle Eckenfiguren reguläre Polygone, aber entweder die Seiten oder die Eckenfiguren sind keine konvexen Polygone, sondern Sternpolygone (bei einem Sternpolygon wird jede Ecke mit der übernächsten Ecke durch eine Kante verbunden). Es gibt genau vier reguläre Sternpolyeder, die sogenannten Kepler-Poinsotschen Körper, nämlich das kleine Sterndodekaeder, das große Sterndodekaeder, das große Dodekaeder und das Ikosaeder.

Das kleine Sterndodekaeder und das große Dodekaeder sind zueinander dual, ebenso das große Sterndodekaeder und das große Ikosaeder.

Alle Kepler-Poinsotischen Körper haben dies selben Symmetriegruppe wie das Ikosaeder. Die Seiten sind äquivalent, die Kanten sind äquivalent und die Ecken sind äquivalent. Ist dies umgekehrt für ein nicht-konvexes Polyeder der Fall so handelt es sich um einen Kepler-Poinsotschen Körper.

Semireguläre Sternpolyeder
Bei einem semiregulären Sternpolyeder sind alle Seiten und alle Eckenfiguren reguläre Polygone und die Eckenfiguren sind äquivalent, aber entweder die Seiten oder die Eckenfiguren sind keine konvexen Polygone, sondern Sternpolygone.

Literatur:

• Paul Adam, Arnold Wyss. Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde. Verlag Paul Haupt Bern, Verlag freies Geistesleben Stuttgart, 1994
• H.S.M. Coxeter. Regular polytopes. Dover Publication, Inc. 1973
• L. Fejes Toth: Reguläre Figuren. Verlag der ungarischen Akademie der Wissenschaften Budapest, 1965
• Gerd Fischer. Mathematische Modelle. Vieweg, 1986
• P.M. Gruber, J.M: Wills. Handbook of Convex Geometry, Volume a. Elsevier Science Publishers B.V. , 1993